概率论精讲

何书元《概率论》（北京大学出版社）伴读讲义。章节与原书一一对应，补足原书省略的动机、直觉与推导：从古典概型与概率空间公理化，到随机变量、期望方差、特征函数与极限定理、随机过程初步。

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从'数数'的古典概型出发，经过几何概率的裂缝，走到 Kolmogorov 的公理化概率空间；再在公理之上重建加法公式、条件概率、独立性、全概率与贝叶斯公式，最后到 Borel-Cantelli 引理与遗传模型。逐节对照何书元《概率论》第一章。

把随机试验的结果数值化：从可测性动机引入随机变量，以分布列、概率密度、分布函数三种形态刻画其概率规律；逐一剖析二项、泊松、几何、超几何与均匀、指数、正态、Gamma 八个基本分布的生成机制，最后建立随机变量函数的分布计算方法与分位数理论。逐节对照何书元《概率论》第二章。

把单变量理论推广到多个随机变量的联合行为：联合分布与边缘分布的信息层级、离散与连续型随机向量、独立性的判别、随机向量函数的分布（卷积与雅可比变换）、条件分布与条件密度，以及次序统计量。本章是全书计算技术最密集的一章。

从'用少数几个实数概括一个分布'的需求出发，建立数学期望、方差、协方差与相关系数的完整理论：LOTUS 与线性性、示性函数方法、Markov–Chebyshev 不等式、协方差矩阵，直至条件期望与最佳预测、熵。逐节对照何书元《概率论》第四章。

先构造研究独立随机变量之和的两件变换工具——概率母函数与特征函数，继而建立多元正态分布的一般理论，最后证明概率论的两大顶峰定理：大数律与中心极限定理。第一章遗留的'频率趋于概率'悬案在本章了结。逐节对照何书元《概率论》第五章。

从有限个随机变量到随时间演化的随机变量族：泊松过程（独立增量）、马尔可夫链（一步依赖）与平稳时间序列（相关结构的平移不变）三种基本依赖结构，以及计数—到达—等待的三位一体、K-C 方程与遍历性。逐节对照何书元《概率论》第六章。