随机变量和概率分布

2.0 导言：为什么需要随机变量

第一章建立的体系有一个明显的表达瓶颈。考察"掷 $n$ 颗骰子"这个试验：若只用事件的语言，则"点数之和为 7"、"点数之和为 8"、"最大点数是 6"……每个陈述都要单独定义一个事件，事件之间的算术关系（和、差、极值）在集合语言中无法直接表达。而这些陈述有一个公共的来源——它们都是关于同一个数值 "点数之和" 的断言。自然的做法是：把这个数值本身作为研究对象。

这就是随机变量的思想：在样本空间 $\Omega$ 上定义一个实值函数 $X(\omega)$，把每个试验结果 $\omega$ 映为一个实数。于是"点数之和为 7"变成 $\{X = 7\}$，"点数之和不超过 10"变成 $\{X \leq 10\}$——无穷多个事件被一个函数统一收纳。更重要的是，随机变量作为数可以参与运算：$X + Y$、$X^2$、$\max\{X, Y\}$ 都有意义，微积分的全部工具由此进入概率论。可以说，第一章造出了概率论的"语法"，本章引入的随机变量才是它的"主语"；此后各章（期望、极限定理、随机过程）研究的无一例外都是随机变量。

本章的逻辑线索分四步：

1. 定义对象（§2.1）：什么样的函数才有资格称为随机变量？答案涉及可测性——这是本章唯一的抽象难点，我们将说明这个技术条件为何必不可少。
2. 刻画规律（§2.2–§2.4）：随机变量的概率规律称为它的分布。离散型用分布列（§2.2），连续型用概率密度（§2.3），而分布函数（§2.4）是覆盖一切类型的统一语言。沿途将系统研究八个基本分布，它们是后续所有章节的"标准零件库"。
3. 变换规律（§2.5）：已知 $X$ 的分布，如何求 $Y = g(X)$ 的分布。
4. 反向工具（§2.6，选学）：由分布反解数值——分位数，以及由此派生的随机数生成原理。

贯穿全章的一个观念转变值得预先指出：随机变量虽被定义为 $\Omega$ 上的函数，但概率论并不关心这个函数的具体解析形式，只关心它的分布（原书例 1.6 对此有专门讨论）。"$X$ 服从什么分布"取代"$X(\omega)$ 如何定义"成为核心问题——这正是"分布"一词在本章标题中出现的原因。

2.1 随机变量：把随机结果映为实数

对应原书 §2.1。

A. 定义中的技术条件从何而来

朴素地说，"定义在样本空间 $\Omega$ 上的实值函数就是随机变量"。原书的三个引入例（示性函数 $\mathrm{I}_A$、扑克牌的点数、收缩压的测量值）都符合这个直觉。但严格的定义多了一个限制条件：

定义 1.1 设 $(\Omega, \mathcal{F})$ 是可测空间。若 $\Omega$ 上的函数 $X(\omega)$ 满足：对任何实数 $x$，

$$ \{\omega \mid X(\omega) \leq x\} \in \mathcal{F}, \tag{1.1} $$

则称 $X$ 是 $(\Omega, \mathcal{F})$ 上的随机变量。集合 $\{\omega \mid X(\omega) \leq x\}$ 以后简记为 $\{X \leq x\}$。

条件 (1.1) 的必要性可以从概率论的目标反推出来。引入 $X$ 之后，我们必然要计算 $P(X \leq x)$、$P(a < X \leq b)$ 这类概率；而第一章已经确立，$P$ 只对 $\mathcal{F}$ 中的集合（即事件）有定义——$\mathcal{F}$ 之外的集合根本没有概率可言。因此，若想让"$X \leq x$"这句话对每个 $x$ 都有概率，就必须要求 $\{X \leq x\}$ 对每个 $x$ 都落在 $\mathcal{F}$ 中。条件 (1.1) 不是数学家的洁癖，而是"$X$ 的概率问题可以被合法提出"的最低资格；满足它的函数称为可测的——可以被概率测度"看见"的函数。

一个自然的疑问：条件 (1.1) 只保证了 $\{X \leq x\}$ 型的集合是事件，但我们同样需要谈论 $\{X = 3\}$、$\{a < X < b\}$、$\{X \in A\}$。这正是 $\sigma$ 域的封闭性发挥作用的地方。例如（原书例 1.7 与练习 2.1）：

$$ \{a < X \leq b\} = \{X \leq b\} - \{X \leq a\}, \qquad \{X = a\} = \bigcap_{n=1}^{\infty} \{a - 1/n < X \leq a\}, $$

差运算与可列交都不会越出 $\mathcal{F}$，故二者皆为事件。把这个推理系统化，就得到 Borel 集与定理 1.1。

B. Borel 集：实数轴上的事件域

把第一章"事件域"的构造施加于实数轴自身：用 $\mathcal{C}$ 表示 $\mathbf{R}$ 的全体左开右闭区间 $(a, b]$，把 $\mathcal{C}$ 中的区间经过交、余集、可列并及其反复运算所能产生的一切集合收集起来，记为 $\mathcal{B}$。$\mathcal{B}$ 是 $\mathbf{R}$ 上的 $\sigma$ 域，称为 Borel 域，其元素称为 Borel 集。单点集、开区间、闭区间、可列点集乃至高等数学中出现的一切集合都是 Borel 集；换言之，$\mathcal{B}$ 囊括了实际计算中可能遇到的所有实数集合。

定理 1.1 若 $X$ 是 $(\Omega, \mathcal{F})$ 上的随机变量，则对任何 Borel 集 $A$，$\{X \in A\} \in \mathcal{F}$。

这个定理宣布：只要检验了 (1.1) 这一族集合，$X$ 落入任何 Borel 集的概率就都自动有意义。证明的思想（原书带星号，值得了解）是一种典型的"好集合方法"：把所有使 $\{X \in A\} \in \mathcal{F}$ 成立的 $A$ 收集为集族 $\mathcal{A}$，利用原像运算与集合运算可交换（$X^{-1}(\bar{A}) = \overline{X^{-1}(A)}$，$X^{-1}(\bigcup A_j) = \bigcup X^{-1}(A_j)$）验证 $\mathcal{A}$ 本身构成 $\sigma$ 域；又因 $(a, b] \in \mathcal{A}$，而 $\mathcal{B}$ 是包含这些区间的最小 $\sigma$ 域，故 $\mathcal{B} \subset \mathcal{A}$。"验证生成元，封闭性自动传播"——这个论证模式在测度论中反复出现。

同样的构造推广到 $n$ 维：以 $\mathbf{R}^n$ 的子立方体为生成元得到 $n$ 维 Borel 域 $\mathcal{B}^n$。定义在 $(\mathbf{R}^n, \mathcal{B}^n)$ 上的随机变量称为 Borel 可测函数，简称可测函数。连续函数、单调函数、阶梯函数及其线性组合均可测；本书此后出现的一切函数默认可测，不再逐一声明。

可测性框架的直接回报是下述封闭性定理：

定理 1.2 若 $X$ 是随机变量，$g$ 是可测函数，则 $Y = g(X)$ 仍是随机变量。更一般地，$g(X_1, X_2, \cdots, X_n)$ 是随机变量。

证明只有一步换元：$\{g(X) \leq a\} = \{X \in B\}$，其中 $B = \{x \mid g(x) \leq a\}$ 是 Borel 集，再引用定理 1.1。这个定理的意义在于：随机变量的世界对一切常规运算封闭——$X + Y$、$X^2$、$\mathrm{e}^X$、$\max\{X,Y\}$ 都仍是随机变量，可以放心地对它们提概率问题。第五章、第六章对随机变量做的各种复杂加工，合法性均由此保证。

初学者对本节的合理态度是：理解可测性所回答的问题（"什么函数才配谈概率"），记住结论（常见函数皆可测、运算不越界），而不必纠缠证明细节。在具体计算中可测性从不构成障碍——它是一道理论上必需、实践中自动满足的门槛。

C. 随机变量的独立性

第一章定义了事件的独立性，现在把它提升到随机变量层面。直觉目标是："$X$ 与 $Y$ 独立"应当意味着关于 $X$ 的任何信息都不影响 $Y$ 的概率规律。技术上只需对一族特殊事件提出要求：

定义 1.2 称随机变量 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 相互独立，若对任何实数 $x_1, \cdots, x_n$，

$$ P(X_1 \leq x_1, X_2 \leq x_2, \cdots, X_n \leq x_n) = P(X_1 \leq x_1) \, P(X_2 \leq x_2) \cdots P(X_n \leq x_n). $$

称序列 $\{X_j\}$ 独立，若其任何有限个成员相互独立。

这里逗号表示事件的交（沿用第一章 $AB$ 的记号精神）。定义表面上只约束了 $\{X_i \leq x_i\}$ 型事件，但与定理 1.1 同样的"生成元传播"机制保证了远为强大的结论：

定理 1.3 若 $X_1, \cdots, X_n$ 相互独立，则对任何 Borel 集 $A_1, \cdots, A_n$，事件 $\{X_1 \in A_1\}, \cdots, \{X_n \in A_n\}$ 相互独立。

定理 1.4 若 $X_1, \cdots, X_n$ 相互独立，则 (1) $g_1(X_1), \cdots, g_n(X_n)$ 相互独立；(2) $\varphi(X_1, \cdots, X_k),\ X_{k+1}, \cdots, X_n$ 相互独立。

定理 1.4 是第一章"独立性在各自阵营内部的运算下保持"这一原则的随机变量版本：对独立的随机变量分别施加函数不破坏独立性；把前 $k$ 个合并加工成一个新变量，它与其余各变量仍独立。其证明（原书给出 (1)）就是一次换元：令 $B_i = \{x \mid g_i(x) \leq x_i\}$，则 $\{g_i(X_i) \leq x_i\} = \{X_i \in B_i\}$，引用定理 1.3 即得乘积分解。这两个定理将在全书中被无声地反复使用——例如"$X_1 + X_2$ 与 $X_3$ 独立"这类断言的依据都在这里。

实际建模中，随机变量的独立性与事件的独立性一样，通常依据试验的物理独立性直接假设：来自相互独立进行的试验的随机变量相互独立。另一个值得记住的事实：常数（退化随机变量）与任何随机变量独立。

2.2 离散型随机变量：五种基本分布及其生成机制

对应原书 §2.2。

分布列：离散随机变量的全部信息

只取有限个或可列个值的随机变量称为离散型随机变量。设其取值为 $x_1, x_2, \cdots$，则数列

$$ p_k = P(X = x_k), \qquad k \geq 1 $$

称为 $X$ 的概率分布列（简称分布列）。分布列满足且仅需满足两条：$p_k \geq 0$；$\sum_k p_k = 1$。这两条对应概率的非负性与完全性——由于 $\{X = x_k\}$ 互不相容且并为 $\Omega$（在 $X$ 的取值范围内），可列可加性把总概率 1 分派到各点上。反之，任何满足这两条的数列都定义一个合法的离散分布。

分布列是离散随机变量的完备刻画：任何事件 $\{X \in A\}$ 的概率都由 $P(X \in A) = \sum_{k : x_k \in A} p_k$ 给出。因此"求某离散随机变量的分布"就是求出它的分布列。以下五个分布构成离散世界的基本骨架，学习它们时应把注意力放在生成机制上——什么样的随机试验产生这个分布。机制清楚了，公式无需死记，应用场景也随之明确。

A. 两点分布 $B(1, p)$：随机性的原子

$X$ 只取 0、1 两值，$P(X = 1) = p$，$P(X = 0) = q = 1 - p$，记作 $X \sim B(1, p)$（伯努利分布）。任何试验，只要仅关心"成功与否"，其成功次数（0 或 1）便服从两点分布。它本身平淡，价值在于充当构件：下面的二项分布、几何分布、帕斯卡分布全部由独立的两点分布试验（称为伯努利试验序列）搭建而成。事件 $A$ 的示性函数 $\mathrm{I}_A$ 就是一个 $B(1, P(A))$ 变量——这个观察在第四章计算期望时将成为核心技巧。

B. 二项分布 $B(n, p)$：独立重复试验的成功计数

生成机制：成功概率为 $p$ 的试验独立重复 $n$ 次，$X$ 为成功总次数，则

$$ P(X = k) = C_n^k p^k q^{n-k}, \qquad k = 0, 1, \cdots, n. \tag{2.4} $$

原书的推导值得复述，因为它是"分布列计算"的范式：设 $A_j$ 为第 $j$ 次成功，则 $\{A_j\}$ 独立。事件 $\{X = k\}$ 按"哪 $k$ 次成功"分解为 $C_n^k$ 个互不相容的原子事件，每个形如 $A_{j_1} \cdots A_{j_k} \bar{A}_{j_{k+1}} \cdots \bar{A}_{j_n}$；由独立性，每个原子事件的概率均为 $p^k q^{n-k}$；有限可加性把它们相加，得 $C_n^k p^k q^{n-k}$。"分解为等概率的互斥原子 × 计数"——第一章古典概型的手法在此重现。分布列之和为 1 恰是二项展开式 $(p+q)^n = \sum_k C_n^k p^k q^{n-k}$，这也是"二项分布"得名的由来。

等价的观点：若 $X_1, \cdots, X_n$ 独立同为 $B(1, p)$，则 $X_1 + \cdots + X_n \sim B(n, p)$。二项分布是两点分布的独立求和——这个"加法结构"观点在第四章（期望方差的计算）与第五章（中心极限定理）中远比公式 (2.4) 本身重要。原书图 2.2.1 显示：$n$ 增大时 $B(n, 0.6)$ 的分布折线越来越接近对称的钟形——这正是中心极限定理的图形预告。

C. 泊松分布 $\mathcal{P}(\lambda)$：稀有事件的计数法则

$$ P(X = k) = \frac{\lambda^k}{k!} \mathrm{e}^{-\lambda}, \qquad k = 0, 1, 2, \cdots \tag{2.5} $$

其中 $\lambda > 0$ 是参数。分布列之和为 1 源于指数函数的 Taylor 展开 $\sum_{k} \lambda^k / k! = \mathrm{e}^{\lambda}$。

泊松分布是本节分量最重的对象，因为它并非某个简单试验的直接产物，而是一个极限规律。原书以卢瑟福–盖革 1910 年的 $\alpha$ 粒子观测数据引入：2608 次观测（每次 7.5 秒）中，观测到 $k$ 个粒子的频率与 $\mathcal{P}(3.87)$ 的分布列几乎逐项吻合（$3.87$ 为每次观测的平均粒子数）。为何放射计数恰好服从泊松分布？原书的推导是全章最精彩的论证之一，现将其逻辑完整展开。

建模。把时长 $t$ 等分为 $n$ 段。当 $n$ 充分大、每段充分短时，作两条物理上合理的假设：(i) 每小段内至多放出一个粒子，且放出一个粒子的概率与段长成正比：$p_n = \mu t / n$（$\mu$ 为强度常数）；(ii) 各小段是否放出粒子相互独立。于是总粒子数 $X$ 近似服从 $B(n, p_n)$，而精确分布应为 $n \to \infty$ 的极限。

求极限（泊松逼近定理）。记 $\lambda = \mu t = n p_n$（注意 $n$ 增大时 $p_n$ 减小，乘积保持为 $\lambda$），对固定的 $k$：

$$ C_n^k p_n^k (1 - p_n)^{n-k} = \frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!} \left(\frac{\lambda}{n}\right)^k \left(1 - \frac{\lambda}{n}\right)^{n-k} $$

$$ = \frac{\lambda^k}{k!} \cdot \underbrace{\frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{n^k}}_{\to\, 1} \cdot \underbrace{\left(1 - \frac{\lambda}{n}\right)^{n}}_{\to\, \mathrm{e}^{-\lambda}} \cdot \underbrace{\left(1 - \frac{\lambda}{n}\right)^{-k}}_{\to\, 1} \longrightarrow \frac{\lambda^k}{k!} \mathrm{e}^{-\lambda}. $$

三个因子的极限分别依据：分子为 $k$ 个与 $n$ 同阶的因式，除以 $n^k$ 趋于 1；重要极限 $(1 - \lambda/n)^n \to \mathrm{e}^{-\lambda}$；固定指数 $-k$ 的因子趋于 1。

这个推导同时回答了两个问题。理论上，它证明了：当 $n$ 大、$p$ 小、$np = \lambda$ 适中时，$B(n, p) \approx \mathcal{P}(\lambda)$——此即泊松逼近（大量独立的稀有机会中，成功总数近似服从泊松分布）。实践上，它解释了泊松分布无处不在的原因：单位时间内路口通过的车辆数、市场到达的顾客数、一年内某地区的重大事故数……凡是"大量独立微小机会的计数"，都落入泊松模型；原书例 2.2 中 1500–1931 年间每年爆发重要战争次数与 $\mathcal{P}(0.69)$ 的吻合是又一实证。尤其当 $n$ 本身无法确定时（例如"潜在顾客总数"没有意义），泊松分布是唯一可用的描述。原书还顺势指出：以 $N(t)$ 记 $(0, t]$ 内的粒子数，则 $N(t) \sim \mathcal{P}(\mu t)$——这一族随机变量就是第六章的泊松过程，此处已埋下伏笔。

D. 超几何分布 $H(n, M, N)$：无放回抽样的计数

生成机制：$N$ 件产品中含 $M$ 件次品，无放回任取 $n$ 件，$X$ 为取出的次品数：

$$ P(X = m) = \frac{C_M^m C_{N-M}^{n-m}}{C_N^n}. \tag{2.8} $$

这正是第一章例 2.4 的"分母总体选、分子按类选"模式，如今获得了正式名称。它与二项分布的关系需要辨析清楚：同一抽样问题，有放回抽取时各次独立，次品数服从 $B(n, M/N)$；无放回时各次不独立（前面抽走次品会降低后面的次品率），次品数服从超几何分布。但当总体规模 $N$ 远大于样本量 $n$ 时，抽走几件对总体比例的扰动可以忽略，两种抽样方式趋于一致。原书 (2.9) 式严格证明了这一点：当 $N \to \infty$ 且 $M/N \to p$ 时，

$$ \frac{C_M^m C_{N-M}^{n-m}}{C_N^n} \longrightarrow C_n^m p^m (1-p)^{n-m}. $$

（证明是纯粹的阶乘整理：把三个组合数展开，分子分母各为 $n$ 个与 $N$ 同阶的因式，逐个相除取极限。）实践含义：对大总体的抽样检验，直接用二项分布 $B(n, M/N)$ 近似计算，避免大组合数运算。这是本章第二个"分布间的极限关系"——连同泊松逼近，它们提示一个将在第五章达到顶峰的主题：各分布不是孤立的，而是由极限通道相互连接的家族。

E. 几何分布与帕斯卡分布：等待时间的分布

生成机制：成功概率为 $p$ 的试验独立重复进行，$X$ 为首次成功时的试验次数。首次成功发生在第 $k$ 次，当且仅当前 $k-1$ 次全部失败而第 $k$ 次成功，由独立性：

$$ P(X = k) = q^{k-1} p, \qquad k = 1, 2, \cdots \tag{2.10} $$

称 $X$ 服从参数 $p$ 的几何分布（分布列构成几何级数，故名）。若二项分布回答"定次数内成功几次"，几何分布回答的是对偶问题"成功一次要等多久"——它是概率论中第一个等待时间分布。

几何分布最深刻的性质是无记忆性：

定理 2.1 取正整数值的随机变量 $X$ 服从几何分布，当且仅当

$$ P(X = k + j \mid X > k) = P(X = j), \qquad j = 1, 2, \cdots \tag{2.12} $$

左端读作：已等待 $k$ 次未成功的条件下，还需恰好再等 $j$ 次的概率。(2.12) 断言它与从头开始等待 $j$ 次的概率相同——过往的失败不积累任何信息，过程在任何时刻"重新开始"。

两个方向的证明都具有方法论价值。必要性：由尾概率 $P(X > k) = \sum_{j > k} q^{j-1} p = q^k$（几何级数求和），条件概率化为 $q^{k+j-1} p / q^k = q^{j-1} p$。充分性更有启发性：设 $r_k = P(X > k)$，在 (2.12) 中取 $j = 1$ 得 $p = 1 - r_{k+1} / r_k$，即递推式 $r_{k+1} = (1-p) r_k$；配合 $r_0 = 1$ 解得 $r_k = q^k$，再由 $P(X = k) = r_{k-1} - r_k$ 恢复分布列。把未知分布的特征性质转化为尾概率的递推（或函数）方程——§2.3 证明指数分布的对应定理时将重演这一策略，届时递推方程升级为函数方程。

推广（例 2.5）：等待第 $r$ 次成功的总试验次数 $X$ 服从帕斯卡分布 $P(X = k) = C_{k-1}^{r-1} q^{k-r} p^r$（$k \geq r$；组合数计"前 $k-1$ 次中哪 $r-1$ 次成功"）；失败总数 $Y = X - r$ 服从负二项分布 (2.14)，其归一性由负指数二项级数 $(1-q)^{-r} = \sum_k C_{k+r-1}^{r-1} q^k$ 保证，这也是"负二项"名称的来源。原书末尾的观察同样是伏笔：把总等待拆为各次成功之间的间隔 $X_1 = S_1, X_2 = S_2 - S_1, \cdots$，则诸间隔独立且各服从几何分布——等待时间的"独立增量分解"将在第三章例 5.1–5.2 严格证明。

2.3 连续型随机变量：概率密度与四个基本分布

对应原书 §2.3。

概率密度：分布列的连续化身

当随机变量的取值充满一个区间（几何概率的样本空间即为此类），分布列失效：每个单点的概率为零，逐点列举不再携带任何信息。正确的做法与物理学处理连续介质的质量分布相同——从"每点的质量"转向"单位长度的质量"，即密度。

定义 3.1 设 $X$ 是随机变量。若存在非负函数 $f(x)$ 使得对任何 $a < b$，

$$ P(a < X \leq b) = \int_a^b f(x) \, \mathrm{d}x, \tag{3.1} $$

则称 $X$ 为连续型随机变量，$f$ 为其概率密度函数（简称密度）。

密度的三条基本性质（原书均给出证明，其中两条的证明手法值得注意）：

(1) 全线积分为 1：$\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \mathrm{d}x = 1$。证明用第一章的概率连续性：事件 $A_n = \{X \in (-n, n]\}$ 单调增，故 $\int_{-n}^{n} f \, \mathrm{d}x = P(A_n) \to P(X \in \mathbf{R}) = 1$。反之，任何积分为 1 的非负函数必是某随机变量的密度（§2.6 例 6.2 将构造性地证明），因此这一条连同非负性就是密度的完整判据。

(2) 单点概率为零：$P(X = a) = 0$，从而 $P(a < X \leq b) = P(a \leq X \leq b) = P(a < X < b)$——区间端点的开闭对连续型随机变量的概率没有影响。证明是一行夹逼：$P(X = a) \leq \int_{a-\varepsilon}^{a} f(x) \mathrm{d}x \to 0$。

(3) 一般事件的概率：对任何 Borel 集 $A$，$P(X \in A) = \int_A f(x) \mathrm{d}x$。

性质 (2) 要求初学者完成一次重要的观念校准。其一，$P(X = a) = 0$ 不意味着 $\{X = a\}$ 不可能发生——试验总会产出某个具体值，而每个具体值的概率都是零；第一章"概率为零不等于不可能"的论断在此成为常态而非反例。其二，密度值 $f(x)$ 不是概率：它是概率对长度的变化率，正确的读法是 $P(x < X \leq x + \mathrm{d}x) \approx f(x) \, \mathrm{d}x$。因此 $f(x) > 1$ 完全正常（例如 $\mathcal{U}(0, 0.1)$ 的密度恒为 10），单点密度值本身没有概率含义，只有积分才产生概率。其三，密度并非唯一——在有限个点上修改 $f$ 的值不改变任何积分，因而不改变分布；但若限定密度连续，则它唯一（§2.4 定理 4.1 的注）。

以下四个分布是连续世界的基本骨架，仍按"生成机制"的线索逐一考察。

A. 均匀分布 $\mathcal{U}(a, b)$：几何概率的化身

密度 $f(x) = \frac{1}{b-a} \mathrm{I}_{(a,b)}(x)$（示性函数记法：区间内取常值 $\frac{1}{b-a}$，区间外为零）。"均匀"意为概率只与区间长度成正比、与位置无关：对 $(a,b)$ 的子区间 $(c, d)$，$P(c < X \leq d) = \frac{d - c}{b - a}$。这正是第一章几何概率在一维的随机变量表述；一般地，对测度有限的 Borel 集 $A$ 可定义 $\mathcal{U}(A)$，其概率计算 $P(X \in B) = m(AB)/m(A)$ 与几何概率公式完全一致。均匀分布是"完全无信息"的连续模型，也是 §2.6 中生成一切分布的原材料。

B. 指数分布 $\mathcal{E}(\lambda)$：连续的无记忆等待

密度 $f(x) = \lambda \mathrm{e}^{-\lambda x} \, (x \geq 0)$，参数 $\lambda > 0$。由 $P(X \leq 0) = 0$ 知 $X$ 非负，故指数分布天然适合描述寿命与等待时间。其尾概率（生存函数）有简洁的闭式：

$$ P(X > x) = \int_x^{\infty} \lambda \mathrm{e}^{-\lambda s} \mathrm{d}s = \mathrm{e}^{-\lambda x}. \tag{3.8} $$

指数分布的特征性质与几何分布严格平行：

定理 3.1 连续型非负随机变量 $X$ 服从指数分布，当且仅当对任何 $s, t \geq 0$，

$$ P(X > s + t \mid X > s) = P(X > t). \tag{3.7} $$

此性质称为无后效性（无记忆性）：设备已工作 $s$ 小时的条件下再工作 $t$ 小时的概率，等于新设备工作 $t$ 小时的概率——设备"不老化"。电子元件、软件系统近似具备该性质（其失效源于意外冲击而非磨损积累），第一章的青花瓷盘亦然（每年被失手打破的概率恒定）。

证明的两个方向再次示范了 §2.2 预告的策略。必要性由 (3.8) 直接验证：$\mathrm{e}^{-\lambda(s+t)} / \mathrm{e}^{-\lambda s} = \mathrm{e}^{-\lambda t}$。充分性：记 $G(x) = P(X > x)$，无后效性化为函数方程

$$ G(s + t) = G(s) G(t), \qquad s, t \geq 0, $$

即 Cauchy 指数型函数方程。$G$ 连续（它是密度的积分），而连续解必为指数函数 $G(x) = \mathrm{e}^{-\lambda x}$（习题 2.43 给出完整证明路径：先由可加型方程 $f(x+y) = f(x) + f(y)$ 的连续解为线性函数，取对数归结之）。几何分布的递推方程 $r_{k+1} = q r_k$ 正是此函数方程的整数格点版本；事实上几何分布与指数分布是同一"无记忆等待"思想的离散与连续两个化身，这一对应在习题 3.26（指数分布的取整服从几何分布）中还会精确化。

例 3.1（与泊松分布的联姻）：在 $\alpha$ 粒子模型中，以 $X_1$ 记等到第一个粒子的时间。由 $\{X_1 > t\} = \{N(t) = 0\}$ 及 $N(t) \sim \mathcal{P}(\mu t)$：

$$ P(X_1 > t) = P(N(t) = 0) = \mathrm{e}^{-\mu t}, $$

与 (3.8) 比对即知 $X_1 \sim \mathcal{E}(\mu)$。计数服从泊松分布 ⟺ 等待时间服从指数分布——这对偶关系是第六章泊松过程的两个侧面，此处的一行推导（把"等待超过 $t$"翻译为"$(0,t]$ 内计数为零"）是连接它们的桥梁，值得单独记住。

C. 正态分布 $N(\mu, \sigma^2)$：概率论的中心对象

$$ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right), \qquad x \in \mathbf{R}. \tag{3.10} $$

$\mu = 0, \sigma = 1$ 时称标准正态分布 $N(0, 1)$，其密度与分布函数享有专用记号：

$$ \varphi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \mathrm{e}^{-x^2/2}, \qquad \Phi(a) = \int_{-\infty}^{a} \varphi(x) \, \mathrm{d}x. $$

密度曲线为以 $x = \mu$ 为对称轴的钟形：峰值 $f(\mu) = 1/\sqrt{2\pi\sigma^2}$，拐点恰在 $\mu \pm \sigma$ 处（这给了 $\sigma$ 直观的几何读法：拐点到对称轴的距离）。$\mu$ 平移曲线位置，$\sigma$ 控制其宽窄——$\sigma$ 越小曲线越高瘦，概率越集中于 $\mu$ 附近。

正态分布的历史地位源于两个事实。其一是经验性的：测量误差（高斯 1809 年在天体轨道计算中的发现，正态分布因此又名高斯分布；伽利略早在 1632 年已定性描述了误差"对称分布于零的两侧、小误差比大误差频繁"的特征）、生理指标、工业产品的质量指标等大量实际数据呈正态。其二是理论性的，也是对其一的解释：大量独立同分布随机变量之和近似服从正态分布——此即第五章的中心极限定理。§2.2 中二项分布折线随 $n$ 增大趋于钟形，正是该定理最早被观察到的实例（de Moivre–Laplace 定理）。在本章，读者暂可把正态分布当作一个给定的密度来操作；它何以"中心"，第五章自会分晓。

两项基本技术必须熟练：

归一性的验证——著名的极坐标技巧。一维积分 $I = \int \mathrm{e}^{-x^2/2} \mathrm{d}x$ 无初等原函数，但其平方可化为二重积分：

$$ I^2 = \int_{-\infty}^{\infty}\!\!\int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{e}^{-(x^2+y^2)/2} \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y = \int_0^{2\pi}\!\!\mathrm{d}\theta \int_0^{\infty} \mathrm{e}^{-r^2/2} r \, \mathrm{d}r = 2\pi, $$

故 $I = \sqrt{2\pi}$——正态密度中 $\sqrt{2\pi}$ 因子的唯一来源。一般 $N(\mu, \sigma^2)$ 的归一性经换元 $t = (x-\mu)/\sigma$ 归结为标准情形。

标准化——一切正态概率计算的通用路径。对 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，在积分中作同一换元可得

$$ P(X \leq a) = \Phi\!\left(\frac{a - \mu}{\sigma}\right), \tag{3.14} $$

配合对称性 $\Phi(x) + \Phi(-x) = 1$（负值查表的依据），任何正态概率均可归结为查标准正态分布表（附录 D）。§2.5 例 5.2 将从随机变量的角度重述这一事实：$(X - \mu)/\sigma \sim N(0,1)$。

标准化的直接应用是几个应当熟记的数值：

$$ P(|X - \mu| \leq \sigma) = 68.27\%, \quad P(|X - \mu| \leq 2\sigma) = 95.45\%, \quad P(|X - \mu| \leq 3\sigma) = 99.73\%. $$

正态变量落在均值三倍标准差之外的概率不足 0.3%——这是工业质量管理"$3\sigma$ 原则"的依据；更严格的"$6\sigma$ 管理"要求偏差超过 $6\sigma$ 的概率仅约 $2 \times 10^{-9}$。这些数值同时提供了实用的直觉：正态分布的概率质量高度集中，"距均值几个 $\sigma$"是衡量一个观测值是否异常的天然标尺（统计学中"显著性"概念的雏形）。

D. Gamma 分布 $\Gamma(\alpha, \beta)$：非负数据的弹性家族

先引入数学分析中的 $\Gamma$ 函数 $\Gamma(\alpha) = \int_0^{\infty} x^{\alpha-1} \mathrm{e}^{-x} \mathrm{d}x$（其基本性质 $\Gamma(\alpha+1) = \alpha\Gamma(\alpha)$、$\Gamma(n) = (n-1)!$、$\Gamma(1/2) = \sqrt{\pi}$ 见附录 B，后续计算常用）。Gamma 分布 $\Gamma(\alpha, \beta)$ 的密度为

$$ f(x) = \frac{\beta^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)} x^{\alpha - 1} \mathrm{e}^{-\beta x}, \qquad x \geq 0, $$

归一性正是 $\Gamma$ 函数定义（换元 $t = \beta x$）。两个参数各司其职：$\beta$ 是尺度（拉伸横轴），$\alpha$ 是形状——$\alpha = 1$ 时退化为指数分布 $\mathcal{E}(\beta)$；$\alpha$ 增大时密度从单调递减变为单峰，峰形渐趋对称。这种形状弹性使它成为非负数据（降水量、风速、寿命）的常用模型，历史上皮尔逊正是为了刻画"非正态的单峰分布"而系统研究了这类曲线族。

Gamma 分布与前述分布的结构性联系（例 3.2，证明留待第三章）：泊松流中等到第 $k$ 个粒子的总时间 $S_k \sim \Gamma(k, \mu)$。与例 3.1 合观，一幅完整的图景浮现：单个间隔服从指数分布，$k$ 个独立指数间隔之和服从 Gamma 分布，而给定时段的计数服从泊松分布——三个分布是同一随机机制（泊松流）的三个观察角度。另一个重要成员将在统计学中出现：$\Gamma(n/2, 1/2)$ 即自由度为 $n$ 的 $\chi^2$ 分布，§2.5 例 5.4 将得到其 $n = 1$ 的情形。

2.4 概率分布函数：统一离散与连续的通用语言

对应原书 §2.4。

为什么还需要第三种刻画

分布列服务于离散型，密度服务于连续型，但随机变量并不只有这两类（二者的混合即是反例：一个以 $1/2$ 概率取 0、以 $1/2$ 概率在 $(0,1)$ 上均匀分布的变量，既无分布列也无密度）。理论的完整性要求一种对一切随机变量皆有定义的刻画。答案在随机变量定义 (1.1) 中早已现身——那里被要求为事件的集合 $\{X \leq x\}$，其概率作为 $x$ 的函数：

定义 4.1 称 $F(x) = P(X \leq x)$，$x \in \mathbf{R}$，为 $X$ 的概率分布函数（简称分布函数）。

$F(x)$ 的含义是概率的累积：数轴上从 $-\infty$ 扫到 $x$ 所收集到的全部概率。两种已知类型纳入统一框架的方式：

• 离散型：$F(x) = \sum_{j: x_j \leq x} p_j$，为单调不减的阶梯函数，在每个取值点 $x_j$ 处跳跃，跳跃高度恰为 $p_j$，跳跃点之间取常值。
• 连续型：$F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) \mathrm{d}t$，为连续函数，且在 $f$ 的连续点处 $F'(x) = f(x)$（微积分基本定理）。

于是分布列是 $F$ 的跳跃记录，密度是 $F$ 的导数——分布函数以其"增长方式"（跳跃或连续攀升）统一了两种旧刻画，并覆盖一切混合情形。知道 $F$ 就能算出任何区间概率：$P(a < X \leq b) = F(b) - F(a)$。

分布函数的特征性质

性质 (1) $F$ 单调不减且右连续；(2) $F(-\infty) = 0$，$F(+\infty) = 1$。

三项论断的证明全部依托第一章的概率连续性定理，是该定理最重要的常规应用，逐一拆解：

单调性是平凡的：$F(y) - F(x) = P(x < X \leq y) \geq 0$。

右连续性：需证 $F(x + 1/n) \to F(x)$。事件列 $\{X \leq x + 1/n\}$ 单调减，其交集为 $\{X \leq x\}$（"对每个 $n$ 都有 $X \leq x + 1/n$"等价于"$X \leq x$"），由概率连续性

$$ \lim_{n \to \infty} F(x + 1/n) = P\Big(\bigcap_{n=1}^{\infty} \{X \leq x + 1/n\}\Big) = P(X \leq x) = F(x). $$

极限值：$\{X \leq n\}$ 单调增至 $\{X < \infty\} = \Omega$，故 $F(+\infty) = 1$；对称论证给出 $F(-\infty) = 0$。

右连续性值得多停留片刻，因为它是初学者的高频困惑点。**为何右连续而非左连续？**根源纯粹是定义中不等号的方向：$F(x) = P(X \leq x)$ 含端点 $x$。从右侧逼近时，$\{X \leq x + 1/n\}$ 收缩的极限仍含 $x$，与 $F(x)$ 无缝衔接；从左侧逼近时，$\{X \leq x - 1/n\}$ 膨胀的极限是 $\{X < x\}$——不含 $x$。由此得到一组必须熟记的关系（练习 2.4）：

$$ F(x - 0) = P(X < x), \qquad P(X = x) = F(x) - F(x - 0). $$

即：$F$ 在 $x$ 处的跳跃高度恰为单点概率 $P(X = x)$。$F$ 在 $x$ 连续 ⟺ $P(X = x) = 0$；$F$ 处处连续 ⟺ 一切单点概率为零（例 4.4）。若教材约定 $F(x) = P(X < x)$（部分苏联传统教材如此），则 $F$ 左连续——两种约定实质等价，读不同参考书时须先核对定义。

性质 (1)(2) 不仅必要而且充分：任何满足二者的函数都是某个随机变量的分布函数（§2.6 定理 6.1 将构造性证明）。因此这两条构成"分布函数"的完整判据，凡满足者皆径称分布函数。

**例 4.2（分布：从名词到测度）**原书借此例完成一次理论上的闭环：定义集函数 $F(A) = P(X \in A)$，$A \in \mathcal{B}$，则逐条验证（非负性、$F(\mathbf{R}) = 1$、可列可加性——各条均从 $P$ 的对应性质经原像运算继承）表明 $F(\cdot)$ 是可测空间 $(\mathbf{R}, \mathcal{B})$ 上的概率，$(\mathbf{R}, \mathcal{B}, F)$ 自身构成概率空间。这揭示了"分布"一词的严格身份：随机变量 $X$ 把抽象概率空间 $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ 上的概率"搬运"到实数轴上，搬运所得的概率测度就是 $X$ 的分布。此后"$X$ 的一切概率性质由其分布决定"这句话有了精确含义；同时也应注意其反面：分布相同不意味着随机变量相同——若 $X \sim N(0,1)$，则 $-X$ 与 $X$ 分布完全相同，但作为 $\Omega$ 上的函数二者处处相反。分布刻画的是统计规律，不是逐点取值。

从分布函数恢复密度

实际问题的典型流程是：先通过概率关系求得 $F$，再由 $F$ 求密度。求导即可——但需要一个允许例外点的正规表述：

定理 4.1 设 $X$ 的分布函数 $F$ 连续，$A$ 为一列相互距离大于某正数 $\delta$ 的点（允许有限个极限点）。若在 $A$ 之外 $F'$ 存在且连续，则

$$ f(x) = \begin{cases} F'(x), & x \notin A, \\ 0, & x \in A \end{cases} $$

是 $X$ 的密度。

证明思路：对任意 $(a, b]$，以 $A$ 中的点把它分割为有限段，每段内部 $F' = f$ 连续，用 Newton–Leibniz 公式逐段积分再相加，得 $P(a < X \leq b) = \int_a^b f$，恰为密度的定义。定理中"$F$ 连续"这一前提不可省略：若 $F$ 有跳跃（如二项分布的阶梯函数，其导数几乎处处为零），逐段积分会漏掉跳跃处的概率，$F'$ 的积分不足 1，$X$ 根本不是连续型。因此正确的操作顺序是：先确认 $F$ 连续，再放心求导；求导困难的孤立点（分段连接点、原点等）直接归零即可，不影响结果。

**例 4.3（失效率恒定的寿命）**是"由概率关系求 $F$"的完整示范，其思想在可靠性理论中具有奠基地位。设某热敏电阻已用 $t$ 小时后，在紧邻的 $\Delta t$ 时间内失效的条件概率为 $\lambda \Delta t + o(\Delta t)$（失效率与使用历史无关，恒为 $\lambda$），求寿命分布。思路：目标是 $F(t) = P(X \leq t)$，已知条件是一个关于条件概率的无穷小陈述，故应把条件概率用 $F$ 表出，令 $\Delta t \to 0$ 得到 $F$ 的微分方程。记生存函数 $\bar{F} = 1 - F$，题设化为

$$ \frac{F(t + \Delta t) - F(t)}{\bar{F}(t)} = \lambda \Delta t + o(\Delta t), $$

两端除以 $\Delta t$ 取极限（左右两侧分别处理以获得双侧导数），得

$$ \frac{F'(t)}{\bar{F}(t)} = \lambda, \quad \text{即} \quad \mathrm{d} \ln \bar{F}(t) = -\lambda \, \mathrm{d}t. $$

积分并用初值 $\bar{F}(0) = 1$，得 $\bar{F}(t) = \mathrm{e}^{-\lambda t}$，即 $X \sim \mathcal{E}(\lambda)$。恒定失效率 ⟺ 指数寿命——这是无后效性的微分形式表述。习题 2.11 沿此思路更进一步：允许失效率随时间变化 $\lambda(t)$，则 $\bar{F}(t) = \exp(-\int_0^t \lambda(s) \mathrm{d}s)$，指数分布是其失效率恒定的特例。这一"由局部（无穷小）条件概率积分出整体分布"的方法，是连续时间随机模型的标准建模范式，第六章将再次依赖它。

2.5 随机变量函数的分布：分布函数法

对应原书 §2.5。

问题与基本方法

已知 $X$ 的分布，求 $Y = g(X)$ 的分布——这是本章技术性最强、也是考试与应用中最常调用的一节。问题的普遍性显而易见：测得电流 $I$ 的分布，要功率 $W = 2I^2$ 的分布；有了标准正态变量，要 $X^2$ 的分布。

离散情形原理平凡：枚举 $Y$ 的每个可能取值 $y$，把映射到 $y$ 的诸 $X$ 值的概率归并相加。原书例 5.1（$Y = X^2$）中 $P(Y = 1) = P(X = -1) + P(X = 1)$ 即是全部要领——唯一须留心的是多对一的归并不能遗漏。

连续情形的标准方法称为分布函数法，流程固定：

1. 写出 $F_Y(y) = P(g(X) \leq y)$；
2. 把事件 $\{g(X) \leq y\}$ 反解为关于 $X$ 的区间（或区间的并）；
3. 用 $X$ 的已知分布表出该事件概率，得 $F_Y$ 的表达式；
4. 确认 $F_Y$ 连续后对 $y$ 求导得密度（定理 4.1）。

方法的实质是：概率的语言只认事件，故一切变换先在事件层面完成——$\{g(X) \leq y\}$ 与某个 $\{X \in B_y\}$ 是同一事件，概率自然相等。三个例题覆盖了三种典型形态，每题的"反解"一步是关键。

例 5.2（线性变换与标准化）。$X \sim N(\mu, \sigma^2)$，$Y = (X - \mu)/\sigma$。反解：$\{Y \leq y\} = \{X \leq y\sigma + \mu\}$（单调增的线性变换，不等号方向不变），故 $F_Y(y) = F_X(y\sigma + \mu)$；求导（复合函数链式法则带出因子 $\sigma$）：

$$ f_Y(y) = \sigma F_X'(y\sigma + \mu) = \frac{\sigma}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp\left(-\frac{y^2}{2}\right) = \varphi(y). $$

即 $Y \sim N(0, 1)$：任何正态变量经标准化变为标准正态变量——§2.3 查表公式 (3.14) 的随机变量层面依据。同法可证更一般的结论：正态变量的任何非退化线性变换仍是正态变量（$aX + b \sim N(a\mu + b, a^2\sigma^2)$），正态族对线性变换封闭。

例 5.4（平方变换：$\chi^2$ 分布的诞生）。$X \sim N(0,1)$，$Y = X^2$。反解需注意 $g(x) = x^2$ 不单调：对 $y > 0$，$\{Y \leq y\} = \{-\sqrt{y} \leq X \leq \sqrt{y}\}$，故

$$ F_Y(y) = \Phi(\sqrt{y}) - \Phi(-\sqrt{y}) = 2\Phi(\sqrt{y}) - 1, $$

求导得

$$ f_Y(y) = 2\varphi(\sqrt{y}) \cdot \frac{1}{2\sqrt{y}} = \frac{1}{\sqrt{2\pi y}} \mathrm{e}^{-y/2}, \qquad y > 0. $$

对照 §2.3 的 Gamma 密度并利用 $\Gamma(1/2) = \sqrt{\pi}$，可识别出 $Y \sim \Gamma(1/2, 1/2)$——统计学中的 $\chi^2(1)$ 分布。数理统计三大抽样分布之一在此首次登场。

例 5.3（反函数变换）。$X \sim \mathcal{U}(0,1)$，$Y = \Phi^{-1}(X)$。由 $\Phi$ 严格增，$\{Φ^{-1}(X) \leq y\} = \{X \leq \Phi(y)\}$，而均匀分布满足 $P(X \leq u) = u$，故 $F_Y(y) = \Phi(y)$，即 $Y \sim N(0,1)$。此例展示了一个方向相反的应用：不是由已知变量求函数的分布，而是设计函数使结果服从指定分布——用均匀随机数制造正态随机数。其一般原理在 §2.6 定理 6.1 中完成。

多分支公式

当 $g$ 分段单调时，逐次使用分布函数法虽可行但繁琐，原书定理 5.1 将其封装为公式。设 $Y = g(X)$ 的值域（概率意义下）为 $D$，且对每个 $y \in D$，方程 $g(x) = y$ 的解可列为 $x = h_i(y)$（$i = 1, \cdots, n$），各 $h_i$ 是 $D$ 到其值域 $D_i$ 的可逆映射、连续可微、且 $D_1, \cdots, D_n$ 互不相交（各分支来自 $g$ 的不同单调段），则

$$ f_Y(y) = \sum_{i=1}^{n} f\big(h_i(y)\big) \, \big|h_i'(y)\big|, \qquad y \in D. \tag{5.1} $$

公式的每个成分都可读出含义：$Y$ 落在 $y$ 附近可经由 $n$ 条互斥的路径实现（$X$ 落在某个 $h_i(y)$ 附近），各路径贡献相加；每条路径的贡献是 $X$ 在该处的密度乘以尺度因子 $|h_i'(y)|$——它是一维的 Jacobi 行列式，度量反函数把 $y$ 轴上的微小区间拉伸为 $x$ 轴上多长的区间（$P(y < Y \leq y + \mathrm{d}y) \approx f(h_i(y)) \cdot |h_i'(y)| \mathrm{d}y$）。取绝对值是因为单调减的分支导数为负而概率必须为正。原书 (5.2) 给出便于记忆的等价形式 $f_Y(y) = \sum_i \left| \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y} F_X(h_i(y)) \right|$。证明即分布函数法的一般化：把 $\{Y \in (a,b]\}$ 拆到各分支，逐支作积分换元后相加。

例 5.5（两分支示范）。$X \sim \mathcal{U}(0, 2\pi)$，$Y = r\cos X$。对 $y \in (-r, r)$，方程 $\cos x = y/r$ 在 $(0, 2\pi)$ 内恰有两解：$h_1(y) = \arccos(y/r) \in (0, \pi)$ 与 $h_2(y) = 2\pi - \arccos(y/r) \in (\pi, 2\pi)$，两分支值域不相交，条件齐备。代入 (5.1)（$f_X \equiv 1/2\pi$，$|h_i'(y)| = \frac{1}{\sqrt{r^2 - y^2}}$ 对两支相同）：

$$ f_Y(y) = 2 \cdot \frac{1}{2\pi} \cdot \frac{1}{\sqrt{r^2 - y^2}} = \frac{1}{\pi\sqrt{r^2 - y^2}}, \qquad |y| < r. $$

所得为反正弦律：随机相位的余弦投影在端点 $\pm r$ 附近密度反而最大（分母趋零）——转动的指针在水平投影的两端"停留"最久。该密度在振动与信号分析中有实际身份。使用公式 (5.1) 的自查清单：分支是否找全？各分支值域是否互不相交？（习题 2.38 中 $X \sim \mathcal{U}(0, 6\pi)$ 时分支增至六条，正是对这两问的检验。）

2.6 随机变量的 p 分位数（选学）

*对应原书 §2.6。星号节。本节前半（分位数的定义与含义）在数理统计中不可或缺，后半（定理 6.1 与随机数生成）是现代随机模拟的理论基础，建议至少掌握结论。

分布函数的"反问题"

分布函数回答"给定数值 $x$，概率累积了多少"；实际问题常问反向的问题："概率要累积到 $p$，数值须到多少"——考试成绩的前 10% 分数线、洪水的百年一遇水位、正态检验的临界值，皆属此类。这就是分位数：分布函数的某种反函数。

困难在于 $F$ 未必严格增（有平台段）也未必连续（有跳跃），通常意义的反函数可能不存在，需要一个对一切分布函数皆有效的广义定义：

定义 6.1 对 $p \in (0, 1)$，称

$$ F^{-1}(p) = \sup\{x \mid F(x) < p\} $$

为 $F$（或 $X$）的 $p$ 分位数，记作 $\xi_p$；$\xi_{1/2}$ 称为中位数。

定义的几何读法：把水平线 $y = p$ 与 $F$ 的图像相交，"$F$ 尚未达到 $p$ 的最右端"即 $\xi_p$。当 $F$ 严格增且连续时它就是普通反函数；$F$ 有跳跃越过 $p$ 时取跳跃点；$F$ 在高度 $p$ 有平台时取平台左端点。由定义经右连续性推出的核心等价关系（原书 (6.3)(6.4)）是本节一切论证的枢纽，应当熟记：

$$ x \geq F^{-1}(p) \iff F(x) \geq p. \tag{6.4} $$

（"$F^{-1}$ 与 $F$ 在不等式两侧互换"——形式上与普通反函数的运算规则一致。）由此得到分位数的概率含义 (6.5)：$P(X \leq \xi_p) \geq p$ 且 $P(X \geq \xi_p) \geq 1 - p$——$\xi_p$ 左侧至少累积 $p$ 的概率、右侧至少 $1-p$。取等号可能失败（离散分布的跳跃所致，原书例 6.1 的中位数处 $P(X \leq 2) = 3/5 > 1/2$），这正是不等式形式的原因；满足这对不等式的点可能不止一个，$F^{-1}(p)$ 是其中最小者。定理 6.2 汇集了 $F^{-1}$ 的运算性质（单调不减、左连续、$F^{-1}(F(x)) \leq x$、$F(F^{-1}(p)) \geq p$，$F$ 连续时取等），均由 (6.4) 机械推出，用到时查阅即可。

逆变换法：均匀分布生成一切分布

本节真正影响深远的结果是：

定理 6.1 设 $F$ 是任一分布函数，$U \sim \mathcal{U}(0, 1)$，则 $Y = F^{-1}(U)$ 的分布函数恰为 $F$。

证明用 (6.4) 一步完成：$P(F^{-1}(U) \leq x) = P(U \leq F(x)) = F(x)$（末一等号是均匀分布的定义性质）。

该定理的分量体现在三个层面。理论上，它构造性地证明了 §2.4 悬置的命题：任何满足单调不减、右连续、两端极限为 0 与 1 的函数确实是某个随机变量的分布函数——所需的随机变量被明白写出为 $F^{-1}(U)$；顺带地，任何积分为 1 的非负函数确为某变量的密度（例 6.2）。实践上，它是随机模拟（Monte Carlo 方法）的第一原理：计算机只会产生 $(0,1)$ 均匀伪随机数，而定理给出把均匀随机数转换为任意指定分布随机数的通用算法——逆变换法。例如欲生成 $\mathcal{E}(\lambda)$ 随机数：$F(x) = 1 - \mathrm{e}^{-\lambda x}$ 的反函数为 $F^{-1}(u) = -\frac{1}{\lambda}\ln(1-u)$，故 $-\frac{1}{\lambda}\ln(1 - U)$（或等价地 $-\frac{1}{\lambda}\ln U$，因 $1-U$ 亦均匀）即所求（练习 2.6(1)）；§2.5 例 5.3 生成正态随机数是同一原理。对偶地，定理 6.2(6) 给出反方向：若 $F$ 连续，则 $F(X) \sim \mathcal{U}(0,1)$——任何连续分布经其自身分布函数变换后"抹平"为均匀分布。这一对互逆的变换在数理统计（p 值的分布、拟合优度检验）中还将多次现身。

均匀分布由此获得了它在连续分布家族中的特殊地位：它是分布的通用原料——一切分布都是 $\mathcal{U}(0,1)$ 的一个函数像。

本章收束：单变量世界的完整地图

本章完成了概率论对象的一次决定性升级。§2.1 以可测性为门槛引入随机变量，并确认这一世界对函数运算与独立性操作封闭；§2.2–§2.3 建立了刻画分布的两种局部语言——分布列与密度，并沿"生成机制"的线索检阅了八个基本分布：二项（独立重复计数）、泊松（稀有事件极限）、几何（无记忆等待）、超几何（无放回抽样）；均匀（几何概率）、指数（连续无记忆等待）、正态（误差与和的极限，地位待第五章加冕）、Gamma（指数间隔的累积）。§2.4 的分布函数把两种语言统一于一个单调右连续函数的增长方式之中，§2.5 给出分布在函数变换下的演算规则，§2.6 的分位数与逆变换法则补上了"由分布反造随机变量"的最后一块拼图。

沿途反复出现的三条线索值得带走：生成机制优先于公式（知道分布从何而来，便知道它用于何处）；分布之间由极限与变换相互连接（泊松逼近、超几何→二项、正态的平方→$\chi^2$、均匀→一切）；特征性质经函数方程刻画分布（无记忆性 ⟺ 几何/指数）。

然而单个随机变量的理论有其天然边界：它无法表达"身高与体重如何联动"、"两次测量相关到什么程度"这类问题——现实中的随机量极少孤立出现。把若干随机变量并置为一个整体 $(X_1, \cdots, X_n)$，研究其联合分布、边缘分布与条件分布，是下一章"随机向量"的任务；本章多次预支的结论（泊松流的间隔独立性、指数和服从 Gamma 分布）也将在那里兑现。

公式速查卡

随机变量与独立性

• 定义：$\{X \leq x\} \in \mathcal{F}$（对一切 $x$）⟹ $\{X \in A\} \in \mathcal{F}$（对一切 Borel 集 $A$）
• $g$ 可测 ⟹ $g(X)$ 是随机变量；$X_i$ 独立 ⟹ $g_i(X_i)$ 独立、$\varphi(X_1,\cdots,X_k)$ 与 $X_{k+1},\cdots$ 独立
• 独立：$P(X_1 \leq x_1, \cdots, X_n \leq x_n) = \prod_i P(X_i \leq x_i)$

离散分布（分布列：$p_k \geq 0$，$\sum p_k = 1$）

连续分布（密度：$f \geq 0$，$\int f = 1$；$P(X = a) = 0$）

正态计算

• $P(X \leq a) = \Phi\big(\frac{a-\mu}{\sigma}\big)$；$\Phi(-x) = 1 - \Phi(x)$
• $1\sigma / 2\sigma / 3\sigma$：$68.27\% / 95.45\% / 99.73\%$

分布函数

• $F(x) = P(X \leq x)$：单调不减、右连续、$F(-\infty)=0$、$F(+\infty)=1$
• $F(x-0) = P(X < x)$；$P(X = x) = F(x) - F(x-0)$（跳跃高度）
• $F$ 连续时求导得密度（孤立例外点归零）；$F$ 不连续则非连续型
• 失效率 $\lambda(t)$ ⟹ $\bar{F}(t) = \exp(-\int_0^t \lambda)$；恒定失效率 ⟺ 指数分布

函数的分布

• 分布函数法：$F_Y(y) = P(g(X) \leq y)$ → 反解 → 求导
• 多分支公式：$f_Y(y) = \sum_i f(h_i(y)) \, |h_i'(y)|$（各 $h_i$ 可逆、值域互斥）
• $X \sim N(0,1) \Rightarrow X^2 \sim \chi^2(1)$；$aX + b \sim N(a\mu+b, a^2\sigma^2)$

分位数与模拟

• $\xi_p = F^{-1}(p) = \sup\{x \mid F(x) < p\}$；$x \geq F^{-1}(p) \iff F(x) \geq p$
• 逆变换法：$U \sim \mathcal{U}(0,1) \Rightarrow F^{-1}(U) \sim F$；$F$ 连续时 $F(X) \sim \mathcal{U}(0,1)$
• 指数随机数：$-\frac{1}{\lambda}\ln U \sim \mathcal{E}(\lambda)$

习题指引

习题二共 43 题，覆盖面广、层次分明。按以下路线刷题，附思路提示（只指方向，不给解答；卡住超过 20 分钟再来逐题讨论）。

第一层：打底（分布的识别与直接计算）

• 2.1–2.3、2.22：几何、二项分布的直接应用。2.1 求"首中在偶数次"，对分布列的偶数项求几何级数；2.3 先算单次观测大于 3 的概率（均匀分布），再套二项。
• 2.19、2.20：正态查表基本功。全部化为 $\Phi$，注意 2.20 是反向问题（由概率反解 $\sigma$）。
• 2.24：离散函数分布，注意 $X^2$ 的取值归并（$\pm 1$、$\pm 2$ 各并为一项）。
• 2.13：单调变换求密度的标准流程（$W = 2I^2$ 在 $I > 0$ 上单调）。

第二层：核心方法（本章主干题型）

• 2.5：几何分布的变体——"已通过的路口数"从 0 起计数，分布列相应平移。
• 2.6、2.7：求分布列最大值点的标准技巧：考察相邻项比值 $p_{k+1}/p_k$ 与 1 的大小关系，定出由升转降的位置。
• 2.15：$\max$ 与 $\min$ 的分布——先求 $P(M \leq k)$（"全都 $\leq k$"，独立连乘）与 $P(m > k)$，再差分。此法在第三章次序统计量中将系统化。
• 2.21：名题。两种维修方案的比较，各归结为二项概率；用泊松近似（$\lambda = np$）可大幅简化计算，并体会"集中服务优于分散服务"的结论。
• 2.23：验收方案——二项/超几何计算与全概率公式的综合。
• 2.26：麻雀问题。无记忆者是有放回试验（几何分布），有记忆者是无放回试验（分布列逐项写出），(3) 的比较需要联合枚举。
• 2.30、2.31：重要结构性结论——两个独立泊松变量在给定和的条件下，其一服从二项分布。结论本身值得记住（第三章条件分布的先声）。
• 2.38、2.39：定理 5.1 的多分支练习。2.38 中 $(0, 6\pi)$ 上余弦有六个单调段，检验"分支找全"的功夫。

第三层：挑战（结构更深的题）

• 2.8：两代分裂的粒子总数——按第一代结果作全概率分解，注意独立分裂的卷积。
• 2.28、2.32、2.33：随机游动与赌徒破产的定量续篇。2.32 把第一章的差分方程推广到 $p \neq q$（等差数列换为等比数列）；2.33 的数值结果（胜率仅差 0.001，破产概率天壤之别）极具冲击力，建议实际算出。
• 2.34：弱收敛的 Pólya 型定理——单调函数列逐点收敛于连续函数则一致收敛的概率版，练分析功底。
• 2.36：概率空间的信息容量——$2^n$ 个样本点至多支撑 $n$ 个独立的非退化事件，理解"独立性消耗样本点"的深意。
• 2.37：两两独立 + 不能同时发生 ⟹ $p \leq 1/2$，与第一章四象限反例呼应。
• *2.41：耦合（coupling）初试——在同一概率空间上构造 $U \leq V$ 且边缘分布指定，提示用同一个均匀变量作逆变换。
• *2.43：Cauchy 函数方程的完整证明（先有理数、后实数），补齐定理 3.1 充分性的分析细节。

通用自查清单：① 识别分布先问生成机制（独立重复？等待？无放回？稀有计数？）；② 连续型求密度前先确认分布函数连续；③ 非单调变换的分支是否找全、值域是否互斥；④ 正态问题一律标准化后查表；⑤ 泊松/二项近似的适用条件（$n$ 大 $p$ 小 / $N \gg n$）是否满足。